APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL UTILIZANDO DERIVE™
* DERIVE
Es un gran programa para
el cálculo matemático avanzado: variables, expresiones
algebraicas, ecuaciones, funciones, vectores, matrices, trigonometría,
etc. También tiene capacidades de calculadora científica, y puede representar
funciones gráficas en dos y tres dimensiones en varios sistemas coordenados.
La potencia de Derive es
enorme y no resulta complicado de manejar, teniendo en cuenta la gran cantidad
de posibilidades que ofrece.
Por medio de este programa, aprovechando
su eficacia, y proponiendo ideas para formular problemas del algebra lineal, se
darán soluciones a los siguientes problemas:
Construir una función
que permita generar aleatoriamente matrices no singulares de cualquier orden,
de tal forma que sus inversas sean re vertibles.
Para ellos partimos de una
‘matriz semilla’, triangular superior que tenga sobre la diagonal 1 o -1
y que genere aleatoriamente los números por encima de la diagonal.
Se construye una función FI,
tal que dada una matriz v permite sumar la fila j multiplicada por un escalar a
la fila i.
Siendo:
Empleando la traspuesta de una
matriz, se construye a partir de la función FI la función FC tal que,
dada una matriz v permite sumar la columna j multiplicada por un escalar a la
columna i.
Llamando ID(n) a la matriz
idéntica de orden n; se construye la matriz que estamos buscando
MATRIZ_ENTERA(n); de la siguiente manera:
A manera de ejemplo, puede
calcularse MATRIZ_ENTERA(n) para n -2, 3, 4, 5, 6 y 7.
Construir una función
que permita generar matrices con valores propios determinados. Los pasos a
seguir son los siguientes:
A continuación se construye
una ‘’matriz semilla’’, triangular superior que tenga sobre la diagonal los
valores propios y que genere aleatoriamente los números por encima de la
diagonal.
Luego, la función como la que
se pide es:
Finalmente, se construye una
función que nos permita ver la matriz, el polinomio característico y los
valores propios:
A manera, de ejemplo, puede
calcularse:
Construir una función que
permita calcular para cada valor propio de una matriz los correspondientes
vectores propios.
Precision: - Exact
A manera de ejemplo se puede
calcular:
Dada una base v del espacio
vectorial de partida, y una base w de espacio de llegada; construir la
transformación lineal que envía a v en w.
La función es la siguiente:
Finalmente puede presentarse
de la siguiente manera:
A manera de ilustración pueden
calcularse las transformaciones lineales que envían la base en la base w
de para los siguientes ejemplos:
Para finalizar con esta
aplicación, se puede tomar como conclusión, que el programa Drive es muy útil
para aplicar algebra lineal. Al resolver los anteriores problemas formando las
funciones en Drive, se pasa a resolver los ejemplos y así, dar soluciones.
Podemos aplicar vectores, matrices, entre otros, e ingeniar nosotros mismos los
problemas a resolver.
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